Es tiempo de matemáticas y el principio de inducción matemática

Publicado: el 6 julio, 2014 por AdminKonrad / Konrad Lorenz

El principio de inducción matemática afirma que considerando el conjunto de los números naturales, es decir todos los números del conjunto N={1, 2, 3, …} y una cierta propiedad P(n) que puede ser cierta o no para cada número natural n, si:

1) P(1) es cierta, es decir, el número natural 1 verifica la propiedad, y
2) Suponiendo que P(k) es cierta, se puede probar que P(k+1) tambien es cierta,
entonces, cualquier número natural verifica esta propiedad.

Pero expliquemos esto un poco. En palabras del lenguaje natural, lo que dice este enunciado del principio de inducción matemática es que si cierta propiedad que dependa de los números naturales, se cumple para el primer número natural (el 1) y si dado que se cumpla para un número natural cualquiera que se quiera pensar, también se cumple para el número siguiente a este, la inducción dice que se debe cumplir para todos los números naturales.

Imaginemos una propiedad que dependa de los números naturales, por ejemplo que el sol sale todas las mañanas. (Esta propiedad depende de los números naturales porque podemos “contar” cada mañana nueva, de modo que la primera mañana será la 1, la segunda será la 2 y así sucesivamente). Ahora, sabemos que hemos visto por lo menos que el sol salió una mañana (la mañana 1) y por eso tenemos cumplida la primera condición del principio de inducción.

También podemos confirmar que si en la mañana de ayer salió el sol, entonces en la mañana de hoy también salió. Esto permite “probar” que el sol saldrá cada mañana que ocurra.

Un poco más formalmente, el principio de inducción afirma que si existe el momento inicial de “algo” y se puede ver que después de cada estado de ese “algo” se confirma el nuevo estado, la sucesión de estados está garantizada, porque, en particular, se podría ver que se pasó del estado 1 al estado 2 y de este al 3 y así sucesivamente.

Otra forma de ver esto está en el contexto del dominó. Si uno tiene una primera ficha de dominó que puede ser tumbada, y garantiza que cuando se caiga cada ficha de las que están en la secuencia, va a tumbar a la siguiente, siempre podría tener un “efecto dominó” si las fichas fueran infinitas.